28-30.09.25 Олимпиада по математике 8 кл – ответы к заданиям?

Задания и ответы по математике для 8 класса приведены исключительно в целях ознакомления.

1. В гимнастическом кружке занимается 7 девочек. На соревнованиях могут выступать только команды, состоящие из двух или из трёх гимнасток. Команды отличаются только составом, порядковых номеров ни у самих команд, ни у участниц внутри команд нет. Сколько существует различных способов разбить девочек на команды таким образом, чтобы все девочки приняли участие в этих соревнованиях, причём каждая девочка выступила ровно один раз?
Ответ: 105

2. На балу мальчики танцевали с девочками, причём каждая пара танцевала не более одного танца. Мальчиков было шестеро. После бала каждый мальчик рассказал, со сколькими девочками он потанцевал, и оказалось, что были названы 6 последовательных натуральных чисел. А каждая из девочек рассказала, что танцевала со всеми мальчиками, кроме кого-то одного.
Какое минимальное количество девочек могло танцевать на этом балу? Ответ: 15
Сколько танцев всего станцевали на этом балу при минимально возможном количестве девочек? Ответ: 75

3. На стадионе Илья и Дима готовились к соревнованиям и решили устроить два тренировочных забега. Ребята вышли на старт прямолинейной беговой дорожки. Первым стартовал Дима, а через 10 секунд после этого вслед за ним стартовал Илья. Когда прошло еще полминуты, оказалось, что Дима пробежал уже половину длины этой беговой дорожки, а Илья только четверть. Немного отдохнув после первого забега, ребята начали второй забег. Теперь они решили побежать навстречу друг другу, стартуя одновременно с противоположных концов этой же беговой дорожки. Через сколько секунд после старта Илья и Дима встретятся, если они побегут с теми же скоростями, что и в первом забеге?
Ответ: 48

4. Придя на тренировку по футболу, Дима не поздоровался с четвертью ребят из секции, не считая себя. Один из тех ребят, с кем он поздоровался, Серёжа, сам поздоровался с одной пятой от тех футболистов, с кем поздоровался Дима, не считая себя.
Какое минимальное количество ребят могло быть в этой секции? Ответ: 9
С каким количеством ребят из секции не поздоровался Дима (при условии минимальности количества ребят в секции)? Ответ: 2
С каким количеством ребят из тех, с кем не поздоровался Дима, не поздоровался Серёжа (при условии минимальности количества ребят в секции)? Ответ: 2

5. У трёхзначного числа N было шесть натуральных делителей. Его записали два раза подряд без пробелов и у полученного числа оказалось уже 24 натуральных делителя. Каким могло быть исходное число N? Найдите все варианты.
Ответ: 539, 637, 847

6. Зал кинотеатра представляет собой прямоугольник 4×10 мест. На сеанс привели класс, в котором учатся отличники и хулиганы. Отличники всегда говорят правду, хулиганы всегда лгут. Считается, что два человека сидят рядом, если они занимают места соседние по стороне или по диагонали. Каждый школьник сказал фразу: «Рядом со мной сидит хулиган». Какое наибольшее количество хулиганов может присутствовать на сеансе?
Ответ: 10