Задания и ответы по математике приведены исключительно в качестве ознакомления.
Задание 1. Из трёхзначного числа 123 путём вычёркивания цифр можно получить двузначные числа: 12, 13 и 23, а 31 нельзя. Из какого наибольшего девятизначного числа можно вычёркиванием цифр получить следующие трёхзначные числа: 748, 391, 562?
Ответ: 756483921
Если цифры 819, 427 и 653, то ответ 865432719
Если числа 347, 519 и 826, то ответ 853472619
Если числа 216, 735 и 498, то ответ 749835216

Задание 2. Числа a и b обратны натуральным (то есть имеют вид 1/N). Известно, что a = b/(13b − 1). Какое максимальное значение может принять 1/(ab)?
Ответ: 42
Если 11б — 1, то ответ 30
Если 9б — 1, ответ 20
Если 7б — 1, то ответ 12

Задание 3. На острове Рыцарей и Лжецов есть правило: рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. На банкет пригласили 36 островитян. Их рассадили за три стола, по двенадцать человек за каждым. Затем каждого спросили: «Кого больше среди одиннадцати твоих соседей по столу, рыцарей или лжецов»? За первым столом все сказали, что больше рыцарей. За вторым столом все сказали, что больше лжецов. За третьим столом были оба варианта ответа, и «больше рыцарей», и «больше лжецов», других ответов не было.
Ответ:
Определите минимальное возможное число лжецов среди сидящих за столами. = 7
Определите максимальное возможное число лжецов среди сидящих за столами. = 29
—
Если на банкете 24, то ответ 5 и 19
Если на банкете 42, то ответ 8 и 34
Если на банкете 30, то ответ 6 и 24

Задание 4. Про функцию f известно, что для всех действительных x
2f(x + 6) + f(4) = x + 8. Чему равно f(24)?
Ответ: 12
Если 4F, то ответ четыре
Если 3F, то ответ три
Если 5F, то ответ 14

Задание 5. Числа {a, b, c, d, e} — это переставленная пятёрка чисел {2, 5, 6, 7, 8}. Многочлен степени a разделили без остатка на многочлен степени b, затем возвели в степень c, умножили на многочлен степени d, и прибавили многочлен степени e. Многочлен какой наименьшей и наибольшей степени мог в итоге получиться?
Ответы
Наименьшая степень: 7
Наибольшая степень: 48

Задание 6. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что угол CAD = 2 · угол ADB, угол ACD = 5 · угол BAC. На окружности взяли точки E и F, такие что BE параллельно CD, CF параллельно AB. Найдите угол между прямыми DF и BE. Ответ выразите в градусах.
Ответ: 60