6 кл Олимпиада по математике «Вершина-2025», ответы какие?

Задания и правильные ответы к олимпиаде по математике для 6 класса приведены исключительно в целях ознакомления.

Задача 1.
Если задуманное число уменьшить в 5 раз и из полученного результата вычесть 8, затем полученную разность увеличить в 25 раз и из результата вычесть 10, затем новую разность умножить на 40 и полученное произведение уменьшить на 100, то получим число, которое в 25 раз больше числа 60. Найдите задуманное число.
Решение
Обозначим задуманное число через x.
Пошаговые вычисления:
1) Уменьшить в 5 раз: x/5.
2) Вычесть 8: x/5 − 8.
3) Увеличить в 25 раз: 25·(x/5 − 8) = 5x − 200.
4) Вычесть 10: 5x − 210.
5) Умножить на 40: 40·(5x − 210) = 200x − 8400.
6) Уменьшить на 100: 200x − 8500.
По условию это равно 25·60 = 1500, значит
200x − 8500 = 1500 ⇒ 200x = 10000 ⇒ x = 50.
Ответ: 50

Задача 2.
В кинотеатре «Жемчужина» имеется зрительный зал, рассчитанный на 30 посадочных мест. Сколько кубометров воздуха приходится на каждого зрителя, если размеры зала 120 дм, 15 м и 550 см?
Решение:
Переведём размеры в метры и найдём объём:
120 дм = 12 м, 15 м = 15 м, 550 см = 5,5 м.
Объём зала = 12 · 15 · 5,5 = 180 · 5,5 = 990 м³.
На одного зрителя (30 мест): 990 : 30 = 33 м³.
Ответ: 33 кубометра воздуха на каждого зрителя.

Задача 3.
У семи девочек было по 15 шаров. Потом первая девочка отдала третью часть своих шаров второй, вторая — четвертую часть от имеющихся теперь шаров третьей, третья четвертую часть четвертой, четвертая половину пятой, пятая пятую часть шестой, а шестая — пятую часть седьмой. На сколько шаров у седьмой девочки стало больше, чем у первой?
Ответ: на 9 шаров.
Объяснение
Изначально у каждой по 15 шаров.
1) 1‑я отдала 1/3·15 = 5 вторй → 1) 10, 2) 20.
2) 2‑я отдала 1/4·20 = 5 третьей → 2) 15, 3) 20.
3) 3‑я отдала 1/4·20 = 5 четвёртой → 3) 15, 4) 20.
4) 4‑я отдала 1/2·20 = 10 пятой → 4) 10, 5) 25.
5) 5‑я отдала 1/5·25 = 5 шестой → 5) 20, 6) 20.
6) 6‑я отдала 1/5·20 = 4 седьмой → 6) 16, 7) 19.
Итого: у 7‑й — 19, у 1‑й — 10; разница 19 − 10 = 9.

Задача 4.
Длину дороги уменьшили на 75%. На сколько процентов надо увеличить новую длину дороги, чтобы получить первоначальную?
Решение:
Уменьшили на 75% → осталось 25% от первоначальной длины, то есть 0,25L. Чтобы получить первоначальную L, нужно умножить 0,25L на 4. Значит, нужно увеличить на (4 − 1)·100% = 300%.
Ответ: на 300% (или увеличить в 4 раза)

Задача 5.
От каждой вершины правильного треугольника отрезали по маленькому равностороннему треугольнику так, чтобы остался правильный шестиугольник. Площадь шестиугольника равна 48. Чему равна площадь данного правильного треугольника?
Решение:
• Обозначим площадь большого равностороннего треугольника за A.
• От каждого угла отрезают маленький равносторонний треугольник со стороной, равной трети стороны большого (чтобы в центре остался правильный шестиугольник). Площадь каждого маленького треугольника равна (1/9) площади большого, значит три таких треугольника в сумме дают (3·1/9)A = (1/3)A.
• Площадь оставшегося шестиугольника = A − (1/3)A = (2/3)A.
• По условию (2/3)A = 48 ⇒ A = 48·3/2 = 72.
Ответ: 72