7 кл Олимпиада по математике «Вершина-2025», правильные ответы?

Задания и правильные ответы с пошаговым решением к олимпиаде по математике для 7 класса приведены исключительно в целях ознакомления.

Задание 1
В 99 килограммов ягод содержалось 99% воды. Ягоды поставили на солнце и вскоре воды в них стало 97%. Сколько килограммов стали весить ягоды?
Ответ: 33 кг.
Решение: сухое вещество остаётся неизменным — было 1% от 99 кг = 0,99 кг. После подсыхания это 3% от общего веса x, значит 0,03x = 0,99 ⇒ x = 0,99/0,03 = 33 кг.

Задание 2
Луч: ОС делает угол AOB на два угла. Известно, что угол AOC в 2 раза меньше угла COB. Луч: OD является бесконечным углом AOC, при этом угол BOD равен 100°. Найдите величину угла AOB от квадратов.
Решение
Обозначим AOC = x, тогда COB = 2x, следовательно AOB = 3x.
Луч OD — биссектриса угла AOC, поэтому угол BOD измеряется как B→C + C→D = 2x + x/2 = (5/2)x.
По условию BOD = 100°, значит (5/2)x = 100°, откуда x = 40°.
Тогда AOB = 3x = 120°
Ответ: 120

Задание 3
В библиотеке хранятся свитки заклинаний и книги рун. Каждый свиток связан магической нитью ровно с четырьмя книгами, а каждая книга — ровно с шестью свитками. Известно, что свитков на 15 больше, чем книг. Сколько книг рун хранится в библиотеке?
Решение
Обозначим число свитков S и число книг B.
Число связей между свитками и книгами можно посчитать двумя способами: каждая связь учитывается в 4S (со стороны свитков) и в 6B (со стороны книг). Значит
4S = 6B ⇒ 2S = 3B
Также известно S = B + 15
Подставляем:
2(B + 15) = 3B ⇒ 2B + 30 = 3B ⇒ B = 30
Ответ: в библиотеке хранится 30 книг рун (и свитков 45)

Задание 4
Грамма заметила, что 2025 год обладает интересным свойством: если события цифры этого числа (2-го +3-го), получится 8. А число 9 — это квадрат числа 3. Грамм задумался: «отнюдь типы лет в 2018 веке (с 2001 по 2100 год километрами), которая обладает символичными свойствами: сумма цифр года является полным квадратом некоторого натурального числа.
Ход размышлений:
Сумма цифр года 2001–2100 = 2 + a + b + c (где год = 2abc). Возможные полные квадраты в этом диапазоне: 4, 9, 16 (1 и 25 не подходят). Значит нужно, чтобы a+b+c = 2, 7 или 14.
Для годов 2001–2099 a = 0, значит b+c = 2, 7 или 14. Перебираем пары (десятки и единицы):
• b+c = 2 → годы: 2002, 2011, 2020.
• b+c = 7 → годы: 2007, 2016, 2025, 2034, 2043, 2052, 2061, 2070.
• b+c = 14 → годы: 2059, 2068, 2077, 2086, 2095.
Год 2100 даёт сумму 2+1+0+0 = 3 — не подходит.
Итого годы в интервале 2001–2100 с суммой цифр — полным квадратом:
2002, 2007, 2011, 2016, 2020, 2025, 2034, 2043, 2052, 2059, 2061, 2068, 2070, 2077, 2086, 2095.
Всего 16 годов

Задание 5
Археолог нашёл старинный сейф с цифровым замком. На крышке была выгравирована подсказка: «Число, открывающее сейф, при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 всегда даёт в остатке 1. Но если разделить его на 7, то остатка нет. Из всех таких чисел кодом является наименьшее из них». Какой код открывает сейф?
Ход размышлений, простое объяснение:
Если число при делении на 2,3,4,5,6 даёт остаток 1, то число минус 1 делится на все эти числа, значит делится на их НОК = 60. То есть число имеет вид 60·k + 1.
Перебираем такие числа, прибавляя по 60, пока не найдём делимое на 7:
• 60·1 + 1 = 61 → 61 : 7 = 8 остаток 5
• 60·2 + 1 = 121 → остаток 2
• 60·3 + 1 = 181 → остаток 6
• 60·4 + 1 = 241 → остаток 3
• 60·5 + 1 = 301 → 301 : 7 = 43 без остатка
Значит наименьшее такое число — 301.