8 кл Олимпиада Эйлера (февраль, 2026), ответы с решением?

Задания и правильные ответы с решением к олимпиаде по математике имени Эйлера для 8 класса приведены исключительно в целях ознакомления.

1. В каждом столбце таблицы 10х10 записаны сверху вниз в порядке возрастания степени двойки: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512. Как пройти из какой-либо клетки верхней строки таблицы в какую-либо клетку нижней, сдвигаясь на каждом ходу на клетку вправо или на клетку вниз, чтобы сумма чисел во всех пройденных клетках равнялась 2026?
Ответ: если представить число 2026 в виде суммы степеней двойки, то путь легче найти.
2026 = 2+8+32+64+128+256+512+1024

2. Числа a, b, c таковы, что a²+b² > (a+b)² и b²+c² > (b+c)².
Что больше: с⁴+а⁴ или (a+c)⁴?
Ответ: (a+c)⁴

3. В треугольнике ABC точка K — середина биссектрисы BL. Известно, что AK = AL и AK ⊥ BC. Найдите величину угла ABC.
Ответ: 60°

4. В электронную таблицу, где две строки и n столбцов, в произвольном порядке записаны все натуральные числа от 1 до 2n (в каждой клетке — одно число). В полдень каждого дня компьютер случайным образом выбирает столбец, где число из верхней строки больше числа из нижней, и меняет эти два числа местами, а затем случайным образом переставляет числа в верхней строке. В момент, когда в каждом столбце верхнее число оказывается меньше нижнего, процесс заканчивается. Докажите, что такой процесс не может происходить дольше, чем n 2 дней.
Решение:
Заметим, что разность суммы чисел в верхней строке таблицы и суммы чисел в ее нижней строке не больше, чем (2n+(2n–1)+…+(n+1))–(n+(n–1)+…+1) = n² и не меньше, чем –n². Каждая перемена компьютером мест двух чисел в столбце уменьшает эту разность минимум на 2. Поэтому таких перемен не может произойти больше, чем (n²–(–n²))/2 = n².

5. Существует ли такое натуральное число n, что для каких-то трёх его делителей a, b, c, больших, чем 1, произведение (a–1)(b–1)(c–1) делится на n²?
Ответ: не существует
Решение
Допустим, такое n существует. Так как числа a и a–1 взаимно просты, произведение (b–1)(c–1) должно делиться на a², откуда a²≤(b–1)(c–1). Аналогично b² ≤ (a — 1)(c–1), c²≤(a–1)(b–1). Перемножив три полученных неравенства, получаем невозможное неравенство a²b²c²≤(a–1)²(b–1)²(c–1)².

6. Как разрезать квадрат на 12 треугольников, площади которых относятся как 1 : 2 : 3 : … : 11 : 12?
Решение:
Заметим, что числа от 1 до 12 можно сгруппировать в 6 пар, сумма чисел в каждой из которых равна 13: 1, 12; 2, 11; 3, 10; 4, 9; 5, 8; 6, 7. Возьмем квадрат ABCD со стороной 13х3 = 39 и разделим его сторону AB на отрезки длиной 1, 12, 2, 11, 3, 10, а сторону AD — на отрезки длиной 4, 9, 5, 8, 6, 7. Соединив вершину C с вершиной A и точками деления на сторонах AB и AD, получим искомые треугольники: их высоты, опущенные из вершины C, равны стороне квадрата, поэтому их площади относятся как длины отрезков, на которые разделены отрезки AB и AD.

7. У Васи есть банки с синей, жёлтой и зелёной красками. Он хочет покрасить каждое натуральное число от 100 до 1 000 000 включительно одной из этих красок так, чтобы каждые три попарно взаимно простых числа были одного цвета. Докажите, что Васе придётся покрасить все числа одним цветом. Напомним, что три числа попарно взаимно просты, если у каждых двух из них наибольший общий делитель равен 1.

Решение:
Будем называть числа, большие 100 и меньшие 1000000, хорошими. Возьмем хорошие простые числа 101, 103 и 107. Так как они попарно взаимно просты, то должны быть покрашены в один цвет (пусть синий). Заменяя одно из них на всевозможные другие хорошие простые числа, убеждаемся, что все хорошие простые числа покрашены в синий цвет. Возьмем произвольное хорошее число n. Оно не делится хотя бы на одно из чисел 101, 103 и 107 (обозначим его через k), так как 101х103х107 > 1000000 и, по той же причине, хотя бы на одно из трех следующих за ними хороших простых чисел (обозначим его через m). Тогда числа n, k, m попарно взаимно просты, и так как числа k и m синие, число n тоже должно быть синим.

Другое решение.
Любая тройка вида (2n–1, 2n, 2n+1) состоит из попрано взаимно простых чисел. Поэтому в любой такой тройке все числа должны быть одного цвета.
Покроем все числа от 101 до 999999 тройками такого вида: (101, 102, 103), (103, 104, 105), …, (999997, 999998, 999999). Так как любые две соседние тройки имеют общий элемент, все эти числа должны быть одного цвета (пусть синего). Числа 100 и 1000000 тоже синие, так как они входят в тройки (100, 101, 103) и (1000000, 101, 103), в которых есть синие числа.

8. На рисунке изображён автодром; точки — это перекрёстки, отрезки — дороги. Каждый отрезок между соседними точками машина проезжает ровно за минуту. Приехав на перекрёсток, машина немедленно уезжает с него по любой дороге, кроме той, по которой она приехала. Сначала несколько машин расположены на перекрёстках, затем они одновременно начинают двигаться по указанным правилам. При каком наибольшем количестве машин может случиться, что они смогут неограниченно долго ездить, никогда не встречаясь (ни на перекрёстках, ни на дорогах)?
Ответ: 36 машин
Решение
Запустим одностороннее движение 36 машин по верхнему и нижнему треугольникам. Каждая машина не реже одного раза в 6 минут будет оказываться на одном из шести перекрестков, где сходятся три дороги. Значит, за любые 6 минут подряд каждая машина побывает на одном из таких перекрестков, и потому машин не больше, чем 6•6 = 36.

9. Для каких натуральных n найдутся такие целые числа a, b, c, d, большие, чем 10²⁰²⁶, что a²+b² = c²+d² и a+b–c–d = n?
Ответ: Для всех четных n, и только для них.

10. Дан треугольник ABC, в котором ∠B = 60°. На продолжении стороны AB за точку B отмечена точка D, а на стороне BC — точка E, причем AD = CE. На продолжении отрезка AE за точку E нашлась такая точка F, что AC = CF и DE = EF. Найдите величины углов треугольника DEF.
Ответ: все углы по 60°

Решение
Из условия следует, что AB < AD = CE < CB. Значит, ∠ACB < ∠CAB. Поэтому ∠ACB < 60° — иначе сумма углов треугольника ABC была бы больше 180°. Построим на отрезке AC равносторонний треугольник ACK так, что точки K и B лежат с одной стороны от прямой AC. Так как ∠ACB < 60°, точки F и K лежат с одной стороны от прямой BC.
Поскольку ∠KCA+∠KAC = 120° = ∠BCA+∠BAC, получаем, что ∠KCE = ∠KCA–∠BCA = ∠BAC–∠KAC = ∠DAK.
Поскольку KA = KC и DA = EC, треугольники KCE и KAD равны по двум сторонам и углу между ними, откуда KE = KD и ∠EKC = ∠DKA. Значит, ∠DKE = ∠DKC–∠EKC = ∠DKC–∠DKA = ∠AKC = 60°, и треугольник DEK также равносторонний. Но тогда EK = ED = EF и CK = CA = CF, то есть треугольники ECF и ECK равны по трём сторонам. Поскольку K и F лежат по одну сторону от BC, отсюда следует, что точки K и F совпадают, и треугольник DEF равносторонний, то есть его углы равны 60°.