Математика профи 10 кл образец МЦКО апрель 2025, ответы какие?

Задания с правильными ответами приведены в целях ознакомления для подготовки к основной работе МЦКО.

1. Найдите значение выражения
12sin75° • cos75° • сos25°/sin(-115°)
Ответ: –3

2. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 18, а боковое ребро AS равно 15. Найдите синус угла между прямыми АВ и SD.
Ответ: 0,8

3. Укажите номера всех графов, в которых существует эйлеров путь, то есть путь, соединяющий все вершины графа и проходящий через каждое ребро ровно по одному разу.
Oтвeт: 134

4. Какое из утверждений неверно?
1) Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.
2) Через любую точку пространства проходит бесконечно много прямых, перпендикулярных данной прямой.
✓ 3) Если плоскость перпендикулярна одной из двух перпендикулярных плоскостей, то она параллельна другой плоскости.

5. Найдите количество элементов множества (BUC)UА, где
A — множество двузначных натуральных чисел,
B — множество чисел, не кратных числу 3,
C — множество чисел, кратных числу 4.
Ответ: 68

6. Решите уравнение
log4 (2-x)³ +4log8 (2-x)=8,5
Если уравнение имеет больше одного корня, в ответ запишите сумму всех его корней.
Ответ: –6

7. B прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка K- середина ребра B1C1, AB=11, AD=4√11, AA1 =3√22. Найдите расстояние от точки А1 до плоскости CDK.
Ответ: 6

8. Решите уравнение
4•9^х+0,5+9•4^х+0,5=35•6^х.
Если уравнение имеет больше одного корня, в ответ запишите сумму корней.
Ответ: 1

9. На рисунке изображены графики функций f(x)=а√x+c+d и g(x)=kx+b, которые пересекаются в точках A(0;2) и B(xв;ув). Найдите хв.
Ответ 12

10. На одной полке стоит 36 блюдец: 14 синих и 22 красных. На другой полке стоит 36 чашек: 27 синих и 9 красных. Наугад берут два блюдца и две чашки. Найдите вероятность того, что из них можно будет составить две чайные пары (блюдце с чашкой), каждая из которых будет одного цвета.
Ответ: 0,29

11. Решите неравенство
2x³ — 21x² + 36x + 108 / 4 — x ≥ 0
В ответ запишите количество целых решений неравенства на отрезке [-100;100].
Ответ: 6

12. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка F — середина ребра A1B1, AA1 = 12, AD = 10, АВ = 15. Найдите тангенс угла между плоскостями BFC1, и ABC.
Ответ 2