Информация в виде задач и авторского решения приведена исключительно в целях ознакомления.
1. Баня Бабы-яги
Баба-яга заполняет чан кипятком в своей бане с помощью трёх труб. С помощью первой трубы она может заполнить этот чан целиком за 3 часа, с помощью второй – за 6 часов, а с помощью третьей – за 18 часов. Баба-яга готовила чан с кипятком для Иванушки и открыла все три трубы. Но после того, как наполнилась 1/3 часть чана, третья труба сломалась. Баба-яга позвала Кощея Бессмертного на помощь и, пока он ремонтировал третью трубу, первая и вторая труба продолжали наполнять чан. Когда набралась половина чана, снова заработала третья труба и Баба-яга благополучно набрала полный чан кипятка. На сколько минут быстрее набрался бы чан, если бы не было поломки?
Решение и ответ
Если бы всё работало сразу:
1/3 + 1/6 + 1/18 = 6/18 + 3/18 + 1/18 = 10/18 = 5/9 чана/час
Время без поломки: 1 ÷ 5/9 = 9/5 ч = 108 мин
С поломкой:
1) До 1/3 чана работают все три:
t₁ = (1/3) ÷ (5/9) = 3/5 ч = 36 мин
2) Пока чинят третью (от 1/3 до 1/2 чана) работают первая и вторая:
1/3 + 1/6 = 1/2 чана/час
Нужно добрать: 1/2 − 1/3 = 1/6 чана
t₂ = (1/6) ÷ (1/2) = 1/3 ч = 20 мин
3) Остаток 1/2 чана снова работают все три:
t₃ = (1/2) ÷ (5/9) = 9/10 ч = 54 мин
Всего: 36 + 20 + 54 = 110 мин
Разница: 110 − 108 = 2 мин
Ответ: 2

2. Наследство царя
Собрал царь Берендей троих своих сыновей и объявил им свою царскую волю: разделить земли царские в той же пропорции, что и возраст сыновей. Сколько лет Младшему, Среднему и Старшему Царевичам на момент царской воли, если известно, что сумма их возрастов составляет 49 лет, а земли царские разделили так, как показано на рисунке?
Сколько лет Младшему Царевичу?
Сколько лет Среднему Царевичу?
Сколько лет Старшему Царевичу?
Объяснение
На рисунке три участка. Если посчитать клетки, их площади относятся примерно как 1 : 2 : 4.
Сумма возрастов = 49 лет.
Сумма частей = 1 + 2 + 4 = 7.
Одна часть = 49 ÷ 7 = 7 лет.
Значит:
Младший (1 часть) = 7 лет
Средний (2 части) = 14 лет
Старший (4 части) = 28 лет
Проверка: 7 + 14 + 28 = 49

3. Разноцветные сапоги
Мальчик-с-пальчик приобрёл четыре пары сапог-скороходов разных цветов: бирюзовые, зелёные, голубые и лиловые. Он смастерил для каждой пары свою полочку. Затем расположил эти полочки горизонтально в ряд и для удобства пронумеровал их слева направо. Мальчик-с-пальчик поставил сапоги на полочки. Оказалось, что на второй полке сапоги были не голубые. На третьей полке – не лиловые. На четвёртой полке были не зелёные сапоги. Голубые сапоги-скороходы стояли на полке рядом с лиловыми сапогами-скороходами. Бирюзовые сапоги стояли не на первой и не на четвёртой полке. На какой полке стояли сапоги какого цвета?
Сопоставьте номер полки и цвет сапог, стоящих на ней.
первая полка
вторая полка
третья полка
четвертая полка
Перетащите элементы на пустые поля сверху
голубые сапоги
бирюзовые сапоги
зелёные сапоги
лиловые сапоги
Ответ и объяснение
Бирюзовые — не 1 и не 4, значит 2 или 3.
Если бирюзовые на 3, то голубые и лиловые должны быть на 1 и 2. Но на 2 не голубые → на 2 лиловые, на 1 голубые. Тогда зелёные остаются на 4, а это запрещено. Значит, бирюзовые на 2.
Тогда голубые и лиловые рядом — только на 3 и 4. На 3 не лиловые → на 3 голубые, на 4 лиловые.
Остаётся зелёные на 1.
Значит, ответ:
1 — зелёные
2 — бирюзовые
3 — голубые
4 — лиловые

4. Дождливый день
Царь поручил гонцу передать приказ в одно из княжеств, расположенных на расстоянии 210 км от столицы. Гонец надел сапоги-скороходы и поспешил в дорогу, но первую половину пути из-за дождя он бежал со скоростью на 40% меньше запланированной. Дождь закончился, гонец смог увеличить скорость и бежал вторую половину пути со скоростью на 40% больше запланированной. Однако он всё-таки опоздал к намеченному сроку на 2 часа.
С какой скоростью изначально планировал бежать гонец в сапогах-скороходах, чтобы успеть передать приказ царя в намеченное время?
С какой скоростью гонец бежал первую половину пути?
С какой скоростью гонец бежал вторую половину пути?
Решение
Пусть v — планируемая скорость.
Время в пути фактически:
105 / 0,6v + 105 / 1,4v
Планируемое время:
210 / v
Опоздание 2 часа:
105 / 0,6v + 105 / 1,4v — 210 / v = 2
Считаем:
175 / v + 75 / v — 210 / v = 2
40 / v = 2 ⇒ v=20
Ответы:
Планировал: 20 км/ч
Первая половина: 0,6 х 20 = 12 км/ч
Вторая половина: 1,4 х 20 = 28 км/ч

5. Новогодний хоровод
В данном задании несколько верных ответов. Укажите все, которые Вы считаете верными, однако обратите внимание, что в случае, если не все верные ответы отмечены или отмечен неверный вариант, балл обнуляется.
В хоровод вокруг новогодней ёлки встали восемь мальчиков: Артур, Евсей, Захар, Никон, Мокей, Савва, Тит и Филипп. Снегурочка заметила, что у любых двух рядом стоящих мальчиков в именах обязательно встречается хотя бы одна одинаковая буква. В каком порядке стоят мальчики в хороводе?
Укажите имена тех двоих, кто стоял справа и слева от Никона:
Укажите имена тех двоих, кто стоял справа и слева от Евсея:
Укажите имена тех двоих, кто стоял справа и слева от Захара:
Укажите имена тех двоих, кто стоял справа и слева от Мокея:
Укажите имена тех двоих, кто стоял справа и слева от Филиппа:
Объяснение
По условию нужно собрать всех в один круг по общим буквам в соседних именах.
Получился такой хоровод:
Тит — Филипп — Никон — Мокей — Евсей — Савва — Захар — Артур — (снова Тит)
Проверяем соседей:
у Никона: Мокей и Филипп
у Евсея: Савва и Мокей
у Захара: Артур и Савва
у Мокея: Евсей и Никон
у Филиппа: Никон и Тит
Все пары рядом имеют хотя бы одну общую букву, и круг замыкается. Это и есть ответ.

6. Царский погреб
Жар-птица приносила царю молодильные яблоки из волшебного сада. Каждый день она один или несколько раз летала в сад и возвращалась с добычей, а в конце дня царь подсчитывал количество яблок и убирал их в погреб. Царь заметил, что Жар-птица могла принести за один раз только или 3 яблока, или 13 яблок.
Какое количество яблок точно не могло оказаться в погребе у Царя ни в один из дней при таком условии (количество яблок выражается натуральным числом)?
Какое максимальное количество яблок не могло оказаться в погребе Царя ни в один из дней при таком условии?
Очень короткое объяснение
Птица приносит 3 или 13 яблок за полёт, значит за день можно получить числа вида:
3a + 13b
Числа, которые так не получаются, — это:
1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 14, 17, 20, 23
Их 12 штук, самое большое — 23.
Ответ: 12 и 23

7. Плотник
Любил Царь Берендей в свободное время плотничать. Взял он квадратный кусок доски 8 дм×8 дм и распилил её на квадраты 2 дм×2 дм и прямоугольники 1 дм×4 дм. Общая длина распилов оказалась равной 6 м. Попросил он младшего сына, Ивана, посчитать количество фигурок, которое получилось после распилов. Что получилось у Ивана?
Сколько квадратов 2 дмх2дм он насчитал после распила?
Сколько прямоугольников 1 дм×4 дм он насчитал после распила?
Сколько всего фигурок он насчитал после распила?
Объяснение, решение и ответ
Всего фигурок: 16 (потому что вся доска 64 дм², а каждая фигурка 4 дм²).
Обозначим квадраты — x, прямоугольники — y.
Тогда x + y = 16.
Дальше считаем по периметрам:
у квадрата периметр 8, у прямоугольника 10.
Сумма всех периметров = внешний периметр доски (32) + удвоенная длина распилов (60·2=120) = 152.
Значит: 8x + 10y = 152.
Решаем:
x + y = 16
8x + 10y = 152
Получаем x = 4, y = 12.
Ответ:
Квадратов 2×2 — 4
Прямоугольников 1×4 — 12
Всего фигурок — 16

8. Дружина Ильи Муромца
Дружина Ильи Муромца состояла из 10 богатырей. Илья Муромец проводил для них учения: каждый день отправлял на задание команду богатырей, состоящую хотя бы из двух человек, причём ни разу полностью состав команды не повторился. Какое наибольшее количество дней могли проходить учения дружины Илья Муромца?
Простое объяснение и ответ
Всего команд из 10 богатырей — 2¹⁰ = 1024.
Но не подходят:
пустая команда (0 человек) — 1 штука,
команды из 1 человека — 10 штук.
Значит, подходящих команд:
1024 — 1 — 10 = 1013.
Каждый день — новая команда, значит максимум дней = 1013.
Ответ: 1013